Часть I. Чиcленные методы алгебры.

Глава 1. Методы решения линейных систем.

§1. Вспомогательный материал.

1. Основные обозначения, определения и утверждения.

2. Элементарные треугольные матрицы.

3. Матрица отражения.

4. Нормы векторов и матриц.

5. Матричная геометрическая прогрессия.

§2. Линейная система. Вводные сведения.

§8. Метод Гаусса.

1. Схема единственного деления.

2. Матричное описание метода.

3. Компактная схема метода.

4. Некоторые применения метода.

§4. Метод квадратного корня.

§5. Метод отражений.

§6. Обусловленность линейных систем.

§7. Метод простой итерации.

§8. Метод Зейделя.

§9. Градиентные методы решения линейных систем.

1. Редукция системы к экстремальной задаче.

2. Градиентный метод с постоянным шагом.

3. Метод скорейшего спуска.

4. Метод минимальных невязок.

5. Метод сопряженных градиентов.

§10. Системы с прямоугольными матрицами.

Глава 2. Проблема собственных значений.

§1. Введение.

1. Вспомогательный материал.

2. Матрица вращения.

3. Спектральные задачи.

§2. Степенной метод.

§3. Метод вращений.

§4. Метод Данилевского.

Глава 3. Методы решения нелинейных систем.

§1. Метод простой итерации.

§2. Метод Ньютона.

§3. Квазиньютоновский метод.

Часть II. Численные методы математического анализа.

Глава 1. Аппроксимация функций.

§1. Задача интерполирования.

§2. Интерполяционный многочлен Лагранжа.

1. Построение многочлена Лагранжа.

2. Оценка погрешности интерполирования.

3. Оптимальный выбор узлов интерполирования.

§3. Интерполяционная формула Ньютона.

1. Разделенные разности и их свойства.

2. Вывод формулы Ньютона с разделенными разностями.

§4. Интерполирование с кратными узлами.

1. Интерполяционный многочлен Эрмита.

2. Погрешность кратного интерполирования.

§5. Сплайн - интерполирование.

1. Линейный сплайн.

2. Параболический сплайн.

3. Кубический сплайн.

§6. Наилучшее приближение функций в классе полиномов.

1. Наилучшее равномерное приближение (чебышевская аппроксимация).

2. Наилучшее среднеквадратичное приближение (метод наименьших квадратов).

Глава 2. Численное интегрирование и дифференцирование.

§1. Задача численного интегрирования.

1. Интерполяционный метод.

2. Метод неопределенных параметров.

§2. Простейшие и составные квадратурные формулы.

1. Формулы прямоугольников.

2. Формулы трапеций.

3. Формулы парабол (Симпсона).

4. Правило Рунге практической оценки погрешности.

§3. Квадратурная формула Гаусса.

§4. Численное дифференцирование функций.

1. Простейшие формулы численного дифференцирования.

2. Некорректность операции численного дифференцирования.

Часть III. Численные методы решения дифференциальных уравнений.

Глава 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

§1. Введение.

1. Задача Коши. Численный подход.

2. Простейшие методы численного решения задачи Коши.

§2. Методы Рунге-Кутта.

§3. Метод Эйлера. Анализ глобальной погрешности.

§4. Методы Адамса.

§5. Линейная многоточечная задача для системы уравнений.

1. Постановка задачи.

2. Метод прогонки (последовательного переноса условий).

§6. Линейная краевая задача для уравнения второго порядка.

1. Постановка задачи. Разностная аппроксимация.

2. Метод прогонки (для решения разностной задачи).

§7. Вариационные методы решения краевых задач.

1. Редукция к вариационной задаче.

2. Метод Ритца.

Глава 2. Уравнения с частными производными.

§1. Основные понятия теории разностных схем.

§2. Разностные схемы для уравнения теплопроводности.

1. Явная разностная схема.

2. Аппроксимация и устойчивость.

3. Неявная разностная схема.

4. Разностная схема с весами.

5. Метод прямых.